Демоверсия 2027

В четырёхугольник ABCD, периметр которого равен 22, вписана окружность, AB = 8. Найдите длину стороны CD

Даны векторы $\vec{a}=(2;2)$ и $\vec{b}=(2; -2)$. Найдите длину вектора $7\vec{a}+\vec{b}$.

Через среднюю линию основания треугольной призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Площадь боковой поверхности отсечённой треугольной призмы равна 18. Найдите площадь боковой поверхности исходной призмы.

В сборнике билетов по химии всего 80 билетов, в 56 из них встречается вопрос по теме «Углеводороды». Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику не достанется вопрос по теме «Углеводороды»

Автоматическая линия изготавливает батарейки. Вероятность того, что готовая батарейка неисправна, равна 0,2. Перед упаковкой каждая батарейка проходит систему контроля качества. Вероятность того, что система забракует неисправную батарейку, равна 0,95. Вероятность того, что система по ошибке забракует исправную батарейку, равна 0,05. Найдите вероятность того, что случайно выбранная изготовленная батарейка будет забракована системой контроля

Организаторы лотереи выпустили 10,000 билетов. Выигрыши распределены следующим образом:

Найдите математическое ожидание величины «выигрыш на один билет». Ответ дайте в рублях.

Найдите корень уравнения $\log_{8}(5x+47)=3$.

Найдите значение выражения $\displaystyle \frac{3\sin164^\circ}{\sin82^\circ\cdot\sin8^\circ}.$

На рисунке изображён график $y=f'(x)$ — производной функции $f(x)$, определённой на интервале $(-10; 7)$. Найдите количество точек минимума функции $f(x)$, принадлежащих отрезку $[-2; 6]$.

В телевизоре ёмкость высоковольтного конденсатора $C=8\cdot10^{-6}$ Ф. Параллельно с конденсатором подключён резистор с сопротивлением$R=5\cdot10^6$ Ом. Во время работы телевизора напряжение на конденсаторе $U_0=56$ кВ.

После выключения телевизора напряжение на конденсаторе убывает до значения $U$ (в киловольтах) за время $t$ (в секундах), определяемое выражением

$\displaystyle t=\alpha RC\log_2\frac{U_0}{U}$

где $\alpha=1{,}5$ — постоянная. Определите напряжение на конденсаторе, если после выключения телевизора прошло 180 секунд. Ответ дайте в киловольтах.

Смешав 45%-й и 97%-й растворы кислоты и добавив 10 кг чистой воды, получили 62%-й раствор кислоты. Если бы вместо 10 кг воды добавили 10 кг 50%-го раствора той же кислоты, то получили бы 72%-й раствор кислоты. Сколько килограммов 45%-го раствора использовали для получения смеси?

На рисунке изображены графики функций $f(x)=ax^2+bx+c$ и $g(x)=kx$, пересекающиеся в точках A и B. Найдите абсциссу точки B.

В июле 2030 года планируется взять кредит 182 000 рублей в банке на три года. Условия его возврата таковы:
– каждый январь долг увеличивается на 20 % по сравнению с концом предыдущего года;
– с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.
Сколько рублей составит общая сумма платежей после полного погашения кредита, если известно, что кредит будет полностью погашен тремя равными платежами?

а) Решите уравнение: $\cos 2x+\sqrt{2}\cos(x+\pi)+1=0.$

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку: $\displaystyle \left[-4\pi;-\frac{5\pi}{2}\right].$

В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF точки M и K — середины боковых рёбер SA и SD соответственно.

а) Докажите, что прямые BC и MK параллельны.

б) Найдите объём пирамиды MABF, если AB = 12, а угол между плоскостью BMC и плоскостью основания пирамиды равен 30°.

Решите неравенство:

$\displaystyle \frac{2\cdot8^{x-1}}{2\cdot8^{x-1}-1} \geq \frac{3}{8^x-1}+\frac{8}{64^x-5\cdot8^x+4}.$

На заводе имеется генератор с ЭДС ε = 50 В и внутренним сопротивлением r = 1 Ом. Инженер подключает к генератору нагрузку, используя реостат, чтобы установить сопротивление нагрузки R (в омах).

Сила тока в цепи (в амперах) определяется законом Ома: $\displaystyle I=\frac{\varepsilon}{r+R}.$

Тепловая мощность (в ваттах), выделяемая в нагрузке, рассчитывается по формуле Джоуля — Ленца: $P=I^2R.$

Какова максимальная тепловая мощность P, которая может быть выделена нагрузкой?

Окружность с центром в точке O касается сторон угла с вершиной N в точках A и B. Отрезок BC — диаметр этой окружности.

а) Докажите, что прямая AC параллельна биссектрисе угла ANB.

б) Найдите длину отрезка NO, если известно, что AC = 10 и AB = 24.

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение имеет ровно два решения:

$ax^4-2x^3+(a^3-a)x^2-(2a^2-2)x =-ax^3+2x^2-(a^3-a)x+2a^2-2.$

На столе лежит некоторое количество карточек, часть из которых синего цвета, а остальные — красного. Есть хотя бы по одной карточке каждого цвета.

На каждой карточке написано целое число. На карточках синего цвета написаны различные числа, делящиеся на 5, а на карточках красного цвета — различные чётные числа. При этом некоторые числа могут быть написаны дважды: один раз на синей карточке и один раз на красной.

Все числа на карточках больше −120.

Оказалось, что наибольшее число на красной карточке равно удвоенному количеству синих карточек, а наибольшее число на синей карточке равно количеству красных карточек.

а) Может ли на столе лежать ровно шесть карточек?

б) Может ли число красных карточек быть на 90 больше числа синих?

в) Какое наибольшее количество карточек может лежать на столе?